Test di ipotesi

Ipotesi statistiche

Un’utile applicazione degli intervalli di confidenza è quella del test di ipotesi statistiche. Date le informazioni sul nostro campione, come ad esempio media, varianza e distribuzione dei dati, possiamo rispondere a domande con una determinata confidenza statistica. Ad esempio, è facile rispondere alla domanda: “è la media del campione maggiore di un certo valore”, ma non è altrettanto immediata la risposta nel caso in cui si prende in considerazione anche l’incertezza che si ha nei dati. Formalizziamo questo concetto.

Test di Student

Siano \(X_1, ..., X_n\) i nostri dati ed assumiamo che seguano una legge normale (per il TCL basta che \(n\) sia sufficientemente grande), sia \(\mu\) la media del campione e diciamo che vogliamo sapere se \(\mu\) è maggiore di un valore prefissato \(\mu_0\). Consideriamo le ipotesi: \[ H_0 \text{ : } \mu \leq \mu_0 \text{ e A : } \mu > \mu_0 \] \(H_0\) è spesso chiamata ipotesi nulla (null hypothesis). Per andare a verificare quale delle precedenti ipotesi è vera si procede come segue. Si pone \(T= \sqrt{n} \frac{\bar{X} - \mu }{S}\) che come visto in classe segue una legge \(t(n-1)\).

Se vale l’ipotesi nulla, si ha che:

\[ P\{T > t_{1-\alpha} (n-1)\} = P\{ \sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu }{S} + \sqrt{n} \frac{\mu - \mu }{S} > t_{1-\alpha} (n-1) \} \leq \] \[ P\{ \sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu }{S} > t_{1-\alpha} (n-1) \} = \alpha \] Cioè sotto l’ipotesi nulla, l’evento \(T > t_{1-\alpha} (n-1)\) ha probabilità minore di \(\alpha\) di verificarsi. Questa probabilità è anche detta p-valore. I valori canonici di \(\alpha\) sono 0.95 o 0.99, ed il primo è quello di default in molti casi.

Questo, insieme ad altre varianti, viene chiamato test di Student.

Il test consiste nel calcolare T a partire dall’osservazione, se il valore ottenuto è maggiore di \(t_{1-\alpha} (n-1)\) l’ipotesi è respinta a livello di confidenza \(\alpha\).

Test a due code

Lo stesso test si può applicare con opportuni accorgimenti ai casi in cui \(H_0: \mu = \mu_0\) contro \(A: \mu \neq \mu_0\) considerando:

\[ \{ |T| > t_{1-\alpha/2} (n-1) \} \] Nel caso in cui vogliamo verificare se le medie di due campioni \(X_1, ..., X_n\) e \(Y_1, ...Y_m\) sono diverse, andiamo a considerare l’evento: \[ \{ |T| > t_{1-\alpha/2} (n+m-2) \}. \]

Test di Student in R

Ovviamente R contiene un comando che permette di calcolare tutti e tre questi casi. Tale comando è t.test(). Vediamo alcuni esempi con il dataset Pima.tr contenuto nel pacchetto MASS.

library(MASS)
head(Pima.tr)

Una persona è considerata di peso normale se il suo indice di massa corporeo (BMI) è inferiore a 25 mentre è considerata sovrappeso se è compresa tra 25 e 30. Nel caso in cui la BMI sia maggiore, la persona è considerata _obesa._Vediamo quanto vale questo valore per le donne del dataset.

mean(Pima.tr$bmi)

[1] 32.31

Sicuramente la media ci suggerisce la presenza di donne sovrappeso ed obese. Vediamo con che probabilità la media è maggiore delle due soglie.

help("t.test")

t.test(Pima.tr$bmi, alternative = "greater", mu = 25)

    One Sample t-test

data:  Pima.tr$bmi
t = 16.864, df = 199, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is greater than 25
95 percent confidence interval:
 31.59367      Inf
sample estimates:
mean of x 
    32.31 

L’output del punto precedente, ci suggerisce già qualcosa sul test rispetto alla soglia del sovrappeso.

t.test(Pima.tr$bmi, alternative = "greater", mu = 30)

    One Sample t-test

data:  Pima.tr$bmi
t = 5.3291, df = 199, p-value = 1.331e-07
alternative hypothesis: true mean is greater than 30
95 percent confidence interval:
 31.59367      Inf
sample estimates:
mean of x 
    32.31 

Ma se volessimo un \(\alpha\) diverso:

t.test(Pima.tr$bmi, alternative = "greater", mu = 30, conf.level = .99)

    One Sample t-test

data:  Pima.tr$bmi
t = 5.3291, df = 199, p-value = 1.331e-07
alternative hypothesis: true mean is greater than 30
99 percent confidence interval:
 31.29341      Inf
sample estimates:
mean of x 
    32.31 

Variando il valore di \(\mu\) si vede che il risultato cambia:

t.test(Pima.tr$bmi, alternative = "greater", mu = 31.5, conf.level = .99)

    One Sample t-test

data:  Pima.tr$bmi
t = 1.8686, df = 199, p-value = 0.03157
alternative hypothesis: true mean is greater than 31.5
99 percent confidence interval:
 31.29341      Inf
sample estimates:
mean of x 
    32.31 

Vediamo ora se la BMI media delle donne diabetiche è statisticamente differente (\(\neq\)) da quella delle non diabetiche nel dataset.

t.test(Pima.tr$bmi[Pima.tr$type == "Yes"], Pima.tr$bmi[Pima.tr$type == "No"] )

    Welch Two Sample t-test

data:  Pima.tr$bmi[Pima.tr$type == "Yes"] and Pima.tr$bmi[Pima.tr$type == "No"]
t = 4.512, df = 171.46, p-value = 1.188e-05
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 2.044547 5.224615
sample estimates:
mean of x mean of y 
 34.70882  31.07424 

Esercizio 1

Si verifichi se il consumo medio delle auto del dataset mtcars con al più 4 cilindri differisce da quello delle auto con più di 4 cilindri. Si effettui il controllo considerando la soglia di confidenza del 95% e del 99%.

Esercizio 2

Si consideri il dataset Pima.tr. Con che probabilità il valore medio del glucosio misurato nel sangue glu è minore di 130, con confidenza 0.99? Con la stessa confidenza, le medie dei soggetti diabetici e non, sono statisticamente differenti?

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Referenze bibliografiche

Il contenuto di questo capitolo si basa sull’omonimo capitolo del libro Calcolo delle probabilità e statistica di Paolo Baldi.